2021AMC10A - 数学 (10)

2018 AMC 10B 试题 第1题

问题 计算 \(\frac{{\left( 2112 - 2021 \right)}^{2}}{169}\) 的值。

(A) 7 (B) 21 (C) 49 (D) 64 (E) 91

解答步骤

1. 理解题意

2. 解题过程

步骤 2：分解分子和分母 观察 \(91\) 和 \(169\) 的关系： \[ 91 = 7 \times 13 \] \[ 169 = 13^2 \] 代入原式： \[ \frac{(7 \times 13)^2}{13^2} \]

步骤 3：化简分式 利用指数运算法则 \((a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2\) ： \[ \frac{7^2 \times 13^2}{13^2} \] 约去分子和分母的公因子 \(13^2\) ： \[ 7^2 = 49 \]

3. 最终答案

2018 AMC 10B 试题 第2题

门卡拉有一张 \( 4 \times 6 \) 的索引卡。如果她将其中一条边的长度缩短 1 英寸，这张卡的面积将变为 18 平方英寸。那么，如果她改为将另一条边的长度缩短 1 英寸，这张卡的面积将是多少平方英寸？

解答步骤

1. 理解题意

2. 解题过程

设原始卡片的长为 \(l\) 、宽为 \(w\) ，且 \(l \times w = 4 \times 6 = 24\) 平方英寸。

情况 1：将一条边缩短 1 英寸后面积为 18

• 若缩短长度为 4 的边：新尺寸为 \(3 \times 6\) ，面积 = \(3 \times 6 = 18\) ，符合条件。
• 若缩短长度为 6 的边：新尺寸为 \(4 \times 5\) ，面积 = \(4 \times 5 = 20\) ，不符合 18 的条件。

因此，第一次缩短的是长度为 4 的边。

情况 2：改为缩短另一条边

面积计算： \[ 4 \times 5 = 20 \]

3. 最终答案

2018 AMC 10B 试题 第3题

假设黏土球在装入立方体前可以被重塑但不可压缩，半径为 \(2\) 的黏土球最多能完全装入边长为 \(6\) 的立方体中多少个？

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

解答步骤

1. 理解题意

关键点：

• 黏土球重塑后形状可以改变，但体积不变
• 立方体内部空间有限，总容纳体积不能超过立方体体积
• 需要计算最大整数个黏土球

2. 解题过程

第一步：计算单个黏土球的体积

代入半径 \(r = 2\) ： \[ V_{\text{球}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi \]

第二步：计算立方体的体积

代入边长 \(a = 6\) ： \[ V_{\text{立方体}} = 6^3 = 216 \]

第三步：计算理论最大球数

第四步：估算实际最大整数球数

已知 \(\pi \approx 3.1416\) ，所以： \[ 4\pi \approx 12.5664 \]

计算上下界：

• 当 \(4\pi < 13\) 时， \(\frac{81}{4\pi} > \frac{81}{13} \approx 6.23\)
• 当 \(4\pi > 12\) 时， \(\frac{81}{4\pi} < \frac{81}{12} = 6.75\)

因此： \[ 6.23 < \frac{81}{4\pi} < 6.75 \]

由于球数必须是整数，且 \(\frac{81}{4\pi} < 7\) ，所以最大可能的整数球数为 \(6\) 。

3. 最终答案

• 洛佩兹先生有两条去上班的路线可选。路线 A 长 6 英里，他沿这条路的平均速度为每小时 30 英里。路线 B 长 5 英里，他沿这条路的平均速度为每小时 40 英里，但其中有一段 \ \( \\frac{1}{2} \\) 英里的学校区域，其平均速度为每小时 20 英里。路线 B 比路线 A 快多少分钟？

(A) \ \( 2\\frac{3}{4} \\) (B) \ \( 3\\frac{3}{4} \\) (C) \ \( 4\\frac{1}{2} \\) (D) \ \( 5\\frac{1}{2} \\) (E) \ \( 6\\frac{3}{4} \\)

解答步骤

1. 理解题意

2. 计算路线 A 所需时间

3. 计算路线 B 所需时间

• 学校区域长度 \( L_s = \frac{1}{2} \) 英里，速度 \( v_s = 20 \) 英里/小时
• 其余路段长度 \( L_r = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \) 英里，速度 \( v_r = 40 \) 英里/小时

学校区域行驶时间： \[ t_s = \frac{L_s}{v_s} = \frac{\frac{1}{2}}{20} = \frac{1}{40} \ \text{小时} \]

其余路段行驶时间： \[ t_r = \frac{L_r}{v_r} = \frac{\frac{9}{2}}{40} = \frac{9}{80} \ \text{小时} \]

路线 B 总时间： \[ t_B = t_r + t_s = \frac{9}{80} + \frac{1}{40} \] 通分（分母为 80）： \[ t_B = \frac{9}{80} + \frac{2}{80} = \frac{11}{80} \ \text{小时} \]

4. 计算时间差（小时）

5. 将时间差转换为分钟

6. 最终答案

2018 AMC 10B 试题 第5题

问题 六位数 \(\underline{2}\underline{0}\underline{2}\underline{1}\underline{0}\underline{\mathrm{A}}\) 仅当数字 \(\mathrm{A}\) 取某个特定值时是质数。请问 \(\mathrm{A}\) 的值是多少？

(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9

解答步骤

1. 理解题意

2. 解题过程

首先，我们列出所有可能的六位数形式： \[ 20210A \] 其中 \(A\) 是 0 到 9 的数字，但题目给出的选项是 1, 3, 5, 7, 9（均为奇数，因为若 \(A\) 为偶数，则整个数能被 2 整除，不是质数）。

我们逐一分析每个选项：

• 选项 (C) \(A = 5\)：
若个位是 5，则整个数能被 5 整除，不是质数。排除。
• 选项 (A) \(A = 1\)：
此时数为 \(202101\) 。 判断是否能被 3 整除：数字和 \(2 + 0 + 2 + 1 + 0 + 1 = 6\) ，6 能被 3 整除，所以整个数能被 3 整除，不是质数。排除。
• 选项 (D) \(A = 7\)：
此时数为 \(202107\) 。 数字和 \(2 + 0 + 2 + 1 + 0 + 7 = 12\) ，12 能被 3 整除，所以整个数能被 3 整除，不是质数。排除。
• 选项 (B) \(A = 3\)：

• 选项 (E) \(A = 9\)：

3. 最终答案

题目

鸸鹋埃尔默在乡村道路上每两个相邻电线杆之间需要走44步等长的步伐。鸵鸟奥斯卡用12次等长的跳跃就能覆盖相同的距离。电线杆间距均匀，沿着这条路第41根电线杆与第一根电线杆正好相距1英里（5280英尺）。奥斯卡的跳跃比埃尔默的步伐长多少英尺？

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 15

解答步骤

1. 理解题意

• 电线杆间距均匀，第41根电线杆与第1根电线杆相距1英里（5280英尺）。
• 埃尔默每两个相邻电线杆之间需要走44步等长的步伐。
• 奥斯卡用12次等长的跳跃就能覆盖相同的距离（两个相邻电线杆之间的间距）。
• 需要求奥斯卡的跳跃比埃尔默的步伐长多少英尺。

2. 解题过程

步骤1：计算相邻电线杆之间的距离 从第1根电线杆到第41根电线杆，共有 \(41 - 1 = 40\) 个间隔。 每个间隔的距离为： \[ \frac{5280}{40} = 132 \text{ 英尺} \]

步骤2：计算埃尔默的步伐长度 埃尔默在两个相邻电线杆之间走44步，因此他的步伐长度为： \[ \frac{132}{44} = 3 \text{ 英尺} \]

步骤3：计算奥斯卡的跳跃长度 奥斯卡在两个相邻电线杆之间用12次跳跃覆盖相同距离，因此他的跳跃长度为： \[ \frac{132}{12} = 11 \text{ 英尺} \]

步骤4：计算跳跃与步伐的长度差 奥斯卡的跳跃比埃尔默的步伐长： \[ 11 - 3 = 8 \text{ 英尺} \]

3. 最终答案

2018 AMC 10B 试题 第7题

• 如图，点 \( E \) 与点 \( A \) 在直线 \( CD \) 所确定的相对半平面上，且 \( \angle CDE = 110^{\circ} \) 。点 \( F \) 在线段 \( AD \) 上，满足 \( DE = DF \) ，且 \( ABCD \) 为正方形。求 \( \angle AFE \) 的度数是多少？

(A) 170 (B) 174 (C) 其他选项未列出 (D) 170 (E) 174

解答步骤

1. 理解题意

题目给出正方形 \(ABCD\) ，点 \(E\) 与点 \(A\) 在直线 \(CD\) 所确定的相对半平面上，且 \(\angle CDE = 110^\circ\) 。点 \(F\) 在线段 \(AD\) 上，满足 \(DE = DF\) ，因此 \(\triangle DEF\) 是等腰三角形。要求计算 \(\angle AFE\) 的度数。

2. 解题过程

步骤 1：确定 \(\angle EDF\)

• 在点 \(D\) 处， \(\angle ADC = 90^\circ\) （正方形内角）。
• 已知 \(\angle CDE = 110^\circ\) 。
• 由于 \(E\) 与 \(A\) 在直线 \(CD\) 的相对半平面上， \(\angle CDE\) 与 \(\angle ADC\) 在点 \(D\) 处相邻，但不在同一侧，因此：

步骤 2：利用等腰三角形性质求 \(\angle DFE\)

• 已知 \(DE = DF\) ，所以 \(\triangle DEF\) 是等腰三角形，顶点为 \(D\) 。
• 等腰三角形中，底角相等：

• 三角形内角和为 \(180^\circ\) ：

步骤 3：求 \(\angle AFE\)

• 点 \(F\) 在线段 \(AD\) 上，因此 \(\angle AFD = 180^\circ\) （平角）。
• \(\angle AFE\) 与 \(\angle DFE\) 互为邻补角：

3. 最终答案

\[ \boxed{170} \]

题目

• 如果一个两位正整数等于其十位数字（非零）与个位数字平方的和，则称这个数为“可爱数”。请问有多少个两位正整数是可爱数？

答案（B）：设一个两位可爱数为 \( \underline{a}\underline{b} \) ，其值为 \( 10a + b \) 。因此有 \( 10a + b = a + b^{2} \) ，即 \( 9a = b(b - 1) \) 。由此可得 9 整除 \( b(b - 1) \) 。若 \( 3 \mid b \) 且 \( 3 \mid (b - 1) \) ，则 \( 3 \mid 1 \) ，矛盾。因此要么 \( 9 \mid b \) ，要么 \( 9 \mid (b - 1) \) 。此外，由于 \( a \neq 0 \) ，可得 \( b > 1 \) 。因此 \( b \) 唯一可能的取值为 9。此时 \( 9a = 9 \cdot 8 \) ，即 \( a = 8 \) ，故唯一的两位可爱数是 89。

解答步骤

1. 理解题意

2. 解题过程

步骤 1：建立方程 由 \(10a + b = a + b^2\) ，移项得： \[ 10a - a = b^2 - b \] \[ 9a = b(b - 1) \]

步骤 2：分析整除性 由于 \(9a = b(b - 1)\) ，且 \(a\) 为正整数，因此 \(9\) 必须整除 \(b(b - 1)\) ，即： \[ 9 \mid b(b - 1) \]

步骤 3：排除矛盾情况 若 \(3 \mid b\) 且 \(3 \mid (b - 1)\) ，则 \(3 \mid 1\) ，矛盾。 因此， \(b\) 和 \(b - 1\) 不能同时被 3 整除，即 \(9\) 必须整除 \(b\) 或 \(b - 1\) 中的一个。

步骤 4：确定 \(b\) 的可能取值

• 若 \(9 \mid b\) ，则 \(b = 0\) 或 \(b = 9\) 。
• 若 \(9 \mid (b - 1)\) ，则 \(b - 1 = 0\) 或 \(b - 1 = 9\) ，即 \(b = 1\) 或 \(b = 10\) （舍去，因 \(b\) 为个位数）。

结合 \(a \neq 0\) 及 \(9a = b(b - 1) > 0\) ，得 \(b > 1\) 。 因此， \(b\) 的可能取值为 \(b = 9\) 。

步骤 5：求解 \(a\) 代入 \(b = 9\) 到方程 \(9a = b(b - 1)\) ： \[ 9a = 9 \times 8 = 72 \] \[ a = 8 \]

步骤 6：验证 两位数为 \(89\) ，计算： \[ 8 + 9^2 = 8 + 81 = 89 \] 满足条件。

3. 最终答案

最终答案是 1，对应选项 (B)。

• 当投掷某个不公平的骰子时，出现偶数的概率是奇数的3倍。将此骰子投掷两次。求两次投掷所得数字之和为偶数的概率是多少？

(B) \( \frac{4}{9} \) (C) \( \frac{5}{9} \) (D) \( \frac{9}{16} \) (E) \( \frac{5}{8} \)

解答步骤

1. 理解题意

设出现奇数的概率为 \( p \) ，则出现偶数的概率为 \( 3p \) 。由于所有可能结果的概率之和为1，我们有： \[ p + 3p = 1 \] 解得： \[ 4p = 1 \quad \Rightarrow \quad p = \frac{1}{4} \] 因此：

• 出现奇数的概率： \( \frac{1}{4} \)
• 出现偶数的概率： \( \frac{3}{4} \)

2. 解题过程

两次投掷的数字之和为偶数，当且仅当两次投掷的结果同为偶数或同为奇数。
• 两次均为偶数的概率：

• 两次均为奇数的概率：

• 总和为偶数的概率：

3. 最终答案

• 艾米丽看到一艘船以恒定速度沿河的一段直线航道行驶。她以均匀的速率沿河岸平行行走，且速度比船快。她从船尾走到船头，数了210个等长的步数。以相反方向行走时，她从船头走到船尾，数了42个相同大小的步数。以艾米丽的等长步数为单位，船的长度是多少？

(A) 70 (B) 84 (C) 105 (D) 126 (E) 140

解答步骤

1. 理解题意

• 当她从船尾走到船头（与船同向）时，数了 210 步。
• 当她从船头走到船尾（与船反向）时，数了 42 步。
• 步长相等，要求以步数为单位求船的长度。

---

2. 设定符号

设：
• \( L \) = 船的长度（以步数为单位）
• \( u \) = 艾米丽的速度（单位：步/单位时间）
• \( v \) = 船的速度（单位：步/单位时间），且 \( u > v \)
• 为简化计算，令 \( u = 1 \) （即以艾米丽的步速为单位速度）

3. 建立方程

情况 1：艾米丽从船尾走向船头（与船同向）

\[ 210 \times (1 - v) = L \] \[ \text{(1)} \quad 210(1 - v) = L \]

情况 2：艾米丽从船头走向船尾（与船反向）

\[ 42 \times (1 + v) = L \] \[ \text{(2)} \quad 42(1 + v) = L \]

4. 联立方程求解

代入 (2)： \[ L = 42 \times \left( 1 + \frac{2}{3} \right) = 42 \times \frac{5}{3} = 14 \times 5 = 70 \]

5. 最终答案

• 数 \( N \) 的九进制表示为 \( {27},{006},{000},{052}_{\text{九}} \) 。当 \( N \) 除以 5 时，余数是多少？

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

• 有 6 个球，每个球独立地以相等概率被涂成黑色或白色。每个球的颜色都与其余 5 个球中超过一半的球颜色不同的概率是多少？

解答步骤

第12题

1. 理解题意

2. 解题过程

我们需要计算 \( N \mod 5 \) 。由于 \( 9 \equiv -1 \pmod{5} \) ，所以：

• 当指数为偶数时， \( 9^k \equiv (-1)^k \equiv 1 \pmod{5} \)
• 当指数为奇数时， \( 9^k \equiv (-1)^k \equiv -1 \pmod{5} \)

分别计算各项的余数：

• \( 2 \cdot 9^{10} \) : 指数 10 为偶数， \( 9^{10} \equiv 1 \) ，所以余数为 \( 2 \times 1 = 2 \)
• \( 7 \cdot 9^{9} \) : 指数 9 为奇数， \( 9^{9} \equiv -1 \) ，所以余数为 \( 7 \times (-1) = -7 \equiv 3 \pmod{5} \)
• \( 6 \cdot 9^{6} \) : 指数 6 为偶数， \( 9^{6} \equiv 1 \) ，所以余数为 \( 6 \times 1 = 6 \equiv 1 \pmod{5} \)
• \( 5 \cdot 9^{1} \) : 指数 1 为奇数， \( 9^{1} \equiv -1 \) ，所以余数为 \( 5 \times (-1) = -5 \equiv 0 \pmod{5} \)
• \( 2 \cdot 9^{0} \) : 指数 0 为偶数， \( 9^{0} \equiv 1 \) ，所以余数为 \( 2 \times 1 = 2 \)

将所有余数相加： \[ 2 + (-7) + 6 + (-5) + 2 = -2 \equiv 3 \pmod{5} \]

3. 最终答案

第13题

1. 理解题意

2. 解题过程

"每个球的颜色都与其余 5 个球中超过一半的球颜色不同"意味着：

• 对于任意一个球，在其余 5 个球中，至少有 3 个球与它颜色不同。

考虑所有可能的涂色情况：

• 总情况数： \( 2^6 = 64 \)

分析满足条件的情况：

• 3黑3白：此时每个黑球面对其余 5 个球（3白2黑），有 3 个颜色不同（白球），满足条件。同样，每个白球面对其余 5 个球（3黑2白），有 3 个颜色不同（黑球），也满足条件。

3黑3白的排列方式数： \(\binom{6}{3} = 20\)

• 其他情况：

因此，唯一满足条件的情况是 3黑3白。

3. 最终答案

由于题目只要求推演步骤，且已知答案对应选项，这里给出计算过程。

题目

• 将6个球随机且独立地涂成黑色或白色，每种颜色的概率相等。求每个球的颜色都与超过半数的其他5个球不同的概率。

(A) \(\frac{1}{6}\) (B) \(\frac{1}{4}\) (C) \(\frac{5}{16}\) (D) \(\frac{1}{2}\)

解答步骤

1. 理解题意

• 每个球与其他5个球比较颜色。
• “超过半数”意味着每个球必须与至少3个其他球的颜色不同。
• 通过分析，事件发生当且仅当有3个黑球和3个白球。
- 若3黑3白，每个球与3个同色球相同，但与另外3个异色球不同，因此每个球都与3个（超过半数，即 > 2.5）其他球颜色不同。 - 若黑球数 ≥ 4（或白球数 ≥ 4），则每个黑球与至少3个其他黑球颜色相同，不满足条件。
• 因此，问题转化为计算恰好有3个黑球和3个白球的概率。

2. 解题过程

• 总涂色方式：每个球有2种颜色选择，6个球独立，总方式数为 \(2^6 = 64\) 。
• 有利情况数：从6个球中选3个涂成白色（其余自动为黑色），方式数为组合数 \(\binom{6}{3}\) ：

• 概率计算：

3. 最终答案

等腰三角形 \(ABC\) 中， \(AB = AC = 3\sqrt{6}\) ，且一个半径为 \(5\sqrt{2}\) 的圆与直线 \(AB\) 相切于点 \(B\) ，与直线 \(AC\) 相切于点 \(C\) 。求经过顶点 \(A\) 、 \(B\) 和 \(C\) 的圆的面积是多少？

(A) \(24\pi\) (B) \(25\pi\) (C) \(26\pi\) (D) \(27\pi\) (E) \(28\pi\)

解答步骤

1. 理解题意

2. 解题过程

考虑四边形 \(ABOC\) ，其中 \(\angle ABO\) 和 \(\angle ACO\) 均为直角，因此： \[ \angle ABO + \angle ACO = 180^\circ. \] 这说明四边形 \(ABOC\) 的对角互补，因此四边形 \(ABOC\) 是圆内接四边形。

由于四边形 \(ABOC\) 内接于圆，且 \(\angle ABO = 90^\circ\) ，根据圆内接四边形的性质，对角互补，可得 \(\angle AOC = 90^\circ\) 。进一步，由对称性可知， \(AO\) 是经过点 \(A\) 、 \(B\) 、 \(C\) 的圆的直径。

接下来，计算 \(AO\) 的长度。在直角三角形 \(ABO\) 中，已知： \[ AB = 3\sqrt{6}, \quad OB = 5\sqrt{2}. \] 应用勾股定理： \[ AO = \sqrt{AB^2 + OB^2} = \sqrt{(3\sqrt{6})^2 + (5\sqrt{2})^2}. \] 计算各项： \[ (3\sqrt{6})^2 = 9 \times 6 = 54, \quad (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50. \] 因此： \[ AO = \sqrt{54 + 50} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}. \] 由于 \(AO\) 是经过点 \(A\) 、 \(B\) 、 \(C\) 的圆的直径，该圆的半径为： \[ R = \frac{AO}{2} = \frac{2\sqrt{26}}{2} = \sqrt{26}. \]

3. 最终答案

• 函数 \( f\left( x\right) = \left| {\lfloor x\rfloor }\right| - \left| {\lfloor 1 - x\rfloor }\right| \) 的图像关于以下哪一项对称？（其中 \(\lfloor x\rfloor\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数。）

(A) \(y\) 轴 (B) 直线 \(x = 1\) (C) 原点 (D) 点 \(\left( {\frac{1}{2},0}\right)\) (E) 点 \((1,0)\)

解答步骤

1. 理解题意

• (A) \(y\) 轴
• (B) 直线 \(x = 1\)
• (C) 原点
• (D) 点 \(\left( \frac{1}{2}, 0 \right)\)
• (E) 点 \((1, 0)\)

对称性分析的关键是检验函数是否满足特定对称条件。

---

2. 解题过程

步骤 1：设 \(x = n + r\) ，其中 \(n\) 为整数， \(0 \leq r < 1\) 将 \(x\) 分解为整数部分 \(n\) 和小数部分 \(r\) ，便于分析。

步骤 2：分情况讨论 \(f(x)\) 的值

• 情况 1： \(r = 0\) （即 \(x\) 为整数）

• 情况 2： \(r > 0\) （即 \(x\) 不为整数）

步骤 3：检验对称性条件 对称关于点 \(\left( \frac{1}{2}, 0 \right)\) 的条件是： \[ f(1 - x) = -f(x) \] 计算 \(f(1 - x)\) ： \[ f(1 - x) = \left| \lfloor 1 - x \rfloor \right| - \left| \lfloor 1 - (1 - x) \rfloor \right| = \left| \lfloor 1 - x \rfloor \right| - \left| \lfloor x \rfloor \right| = -f(x) \] 因此，对任意 \(x\) ，有： \[ f(1 - x) = -f(x) \] 这说明点 \((x, f(x))\) 和点 \((1 - x, -f(x))\) 关于点 \(\left( \frac{1}{2}, 0 \right)\) 对称，因为该点是这两点的中点。

步骤 4：排除其他选项 通过具体值验证其他对称性不成立：

• 对称关于 \(y\) 轴：需 \(f(-x) = f(x)\) 。
取 \(x = 1\) ，则 \(f(1) = 1\) ， \(f(-1) = -1 \neq 1\) ，不成立。
• 对称关于直线 \(x = 1\)：需 \(f(1 + t) = f(1 - t)\) 。
取 \(t = 2\) ，则 \(f(3) = 1\) ， \(f(-1) = -1 \neq 1\) ，不成立。
• 对称关于原点：需 \(f(-x) = -f(x)\) 。
取 \(x = 0\) ，则 \(f(0) = 1\) ， \(f(-0) = 1 \neq -1\) ，不成立。
• 对称关于点 \((1, 0)\)：需 \(f(1 + t) = -f(1 - t)\) 。

3. 最终答案

• 一位建筑师正在建造一个结构，将在水平放置于地面的正六边形 \( {ABCDEF} \) 的顶点处竖立垂直支柱。这六根支柱将支撑一个不平行于地面的平板太阳能板。位于 \( A \) 、 \( B \) 和 \( C \) 处的支柱高度分别为 12 米、9 米和 10 米。那么位于 \( E \) 处的支柱高度是多少米？

(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 13 (E) 17

解答步骤

1. 理解题意

• 正六边形 \(ABCDEF\) 水平放置于地面，顶点处竖立垂直支柱支撑一个不平行于地面的平板太阳能板。
• 已知支柱高度： \(A\) 处 12 米， \(B\) 处 9 米， \(C\) 处 10 米。
• 求 \(E\) 处的支柱高度。

由于平板不平行于地面，支柱顶端共面，因此平板可视为一个平面。设六边形边长为 \(s\) ，建立坐标系，利用共面条件求解。

2. 建立坐标系与几何关系

将正六边形置于平面 \(z=0\) ，中心在原点，顶点按逆时针排列： \[ A = (s, 0, 0), \quad B = \left(\frac{s}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}s, 0\right), \quad C = \left(-\frac{s}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}s, 0\right), \] \[ D = (-s, 0, 0), \quad E = \left(-\frac{s}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}s, 0\right), \quad F = \left(\frac{s}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}s, 0\right). \]

已知支柱高度： \(z_A = 12\) ， \(z_B = 9\) ， \(z_C = 10\) 。

设平板平面方程为： \[ z = px + qy + r. \] 代入 \(A, B, C\) 坐标：

• \(A(s,0)\) ： \(12 = ps + r\)
• \(B\left(\frac{s}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}s\right)\) ： \(9 = p\frac{s}{2} + q\frac{\sqrt{3}}{2}s + r\)
• \(C\left(-\frac{s}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}s\right)\) ： \(10 = -p\frac{s}{2} + q\frac{\sqrt{3}}{2}s + r\)

3. 解平面方程参数

由 (1) 得 \(r = 12 - ps\) 。

(2) 减 (1)： \[ 9 - 12 = p\frac{s}{2} - ps + q\frac{\sqrt{3}}{2}s \] \[ -3 = -\frac{p s}{2} + q\frac{\sqrt{3}}{2}s \] \[ -3 = s\left(-\frac{p}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}q\right) \quad (4) \]

(3) 减 (1)： \[ 10 - 12 = -p\frac{s}{2} - ps + q\frac{\sqrt{3}}{2}s \] \[ -2 = -\frac{3ps}{2} + q\frac{\sqrt{3}}{2}s \] \[ -2 = s\left(-\frac{3p}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}q\right) \quad (5) \]

(5) 减 (4)： \[ -2 - (-3) = s\left[-\frac{3p}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}q + \frac{p}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}q\right] \] \[ 1 = s(-p) \] \[ p = -\frac{1}{s}. \]

代入 (4)： \[ -3 = s\left[-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{s}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}q\right] \] \[ -3 = s\left[\frac{1}{2s} + \frac{\sqrt{3}}{2}q\right] \] \[ -3 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} s q \] \[ -\frac{7}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} s q \] \[ q = -\frac{7}{\sqrt{3}\, s}. \]

由 (1)： \[ r = 12 - \left(-\frac{1}{s}\right) s = 12 + 1 = 13. \]

因此平面方程： \[ z = -\frac{1}{s}x - \frac{7}{\sqrt{3}\, s}y + 13. \]

4. 求 \(E\) 处高度

\(E = \left(-\frac{s}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}s, 0\right)\) ，代入平面方程： \[ z_E = -\frac{1}{s}\cdot\left(-\frac{s}{2}\right) - \frac{7}{\sqrt{3}\, s} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}s\right) + 13 \] \[ z_E = \frac{1}{2} + \frac{7}{2} + 13 \] \[ z_E = 4 + 13 = 17. \]

5. 最终答案

\[ \boxed{17} \]

2018 AMC 10B 试题 第18题

如图，某农场主将一块矩形田地划分为 \(2 \times 2\) 的网格，共4个矩形区域。每个区域将种植一种作物：玉米、小麦、大豆或马铃薯。农场主不希望任何相邻区域（共享边界）种植玉米和小麦，也不希望任何相邻区域种植大豆和马铃薯。在这些限制条件下，农场主有多少种不同的作物种植方案？

(A) 12 (B) 64 (C) 84 (D) 90 (E) 144

解答步骤

1. 理解题意

农场主有一块 \(2 \times 2\) 的矩形田地，划分为 4 个区域，按顺时针方向依次编号为 1（左上）、2（右上）、3（右下）、4（左下）。每个区域种植一种作物：玉米（C）、小麦（W）、大豆（S）或马铃薯（P）。限制条件为：

• 相邻区域不能同时种植玉米和小麦（C 与 W 不能相邻）
• 相邻区域不能同时种植大豆和马铃薯（S 与 P 不能相邻）

相邻关系为：1 与 2、2 与 3、3 与 4、4 与 1 相邻（对角线不相邻）。

目标是计算满足条件的种植方案总数。

---

2. 解题过程

采用分情况讨论法，按区域顺序依次选择作物。

步骤 1：选择区域 1 的作物

区域 1 可以种植任意一种作物，有 \(4\) 种选择。

步骤 2：考虑区域 3 的作物选择对区域 2 和 4 的影响

区域 3 与区域 1 不相邻，但区域 2 与区域 1、区域 3 都相邻，区域 4 与区域 1、区域 3 都相邻。因此区域 3 的作物选择会影响区域 2 和 4 的可用选项。

设区域 1 的作物为 \(X\) ，则：

• 与 \(X\) 不相容的作物称为 \(Y\) （即若 \(X\) 为 C，则 \(Y\) 为 W；若 \(X\) 为 S，则 \(Y\) 为 P；若 \(X\) 为 W，则 \(Y\) 为 C；若 \(X\) 为 P，则 \(Y\) 为 S）。
• 其余两种作物称为 \(Z_1\) 和 \(Z_2\) 。

情况 1：区域 3 种植与区域 1 相同的作物 \(X\)

• 区域 2 不能与区域 1（ \(X\) ）和区域 3（ \(X\) ）不相容，但区域 3 也是 \(X\) ，所以区域 2 不能种 \(Y\) ，但可以种 \(X, Z_1, Z_2\) ，共 \(3\) 种选择。
• 同理，区域 4 也有 \(3\) 种选择。
• 此情况方案数： \(4 \times 3 \times 3 = 36\)

情况 2：区域 3 种植与区域 1 不相容的作物 \(Y\)

• 区域 2 不能与区域 1（ \(X\) ）和区域 3（ \(Y\) ）不相容，即不能种 \(Y\) （因为与 \(X\) 不相容）且不能种 \(X\) （因为与 \(Y\) 不相容），只能种 \(Z_1\) 或 \(Z_2\) ，共 \(2\) 种选择。
• 区域 4 同理，只能种 \(Z_1\) 或 \(Z_2\) ，共 \(2\) 种选择。
• 此情况方案数： \(4 \times 2 \times 2 = 16\)

情况 3：区域 3 种植 \(Z_1\) 或 \(Z_2\) （两种中的一种）

• 区域 2 不能与区域 1（ \(X\) ）和区域 3（例如 \(Z_1\) ）不相容：
- 不能种 \(Y\) （与 \(X\) 不相容） - 不能种与 \(Z_1\) 不相容的作物（若 \(Z_1\) 是 C，则不能种 W；若 \(Z_1\) 是 S，则不能种 P；若 \(Z_1\) 是 W，则不能种 C；若 \(Z_1\) 是 P，则不能种 S） - 但 \(Y\) 与 \(Z_1\) 不一定相同，所以可能禁止两种作物，剩下 2 种可选。
• 实际上，区域 2 不能种 \(Y\) 和与 \(Z_1\) 不相容的作物，这两个禁止的作物可能相同也可能不同，但总数总是 2 种禁止，剩下 2 种可选。
• 同理，区域 4 也有 2 种选择。
• 区域 3 有 2 种选择（ \(Z_1\) 或 \(Z_2\) ）
• 此情况方案数： \(4 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\)

步骤 3：计算总数

3. 最终答案

满足条件的种植方案总数为 \(\boxed{84}\) ，对应选项 (C)。

第19题

一个半径为1的圆盘在边长为 \( s > 4 \) 的正方形内部紧贴边界滚动一周，扫过的区域面积为 \( A \) 。另一个半径为1的圆盘在同一个正方形外部紧贴边界滚动一周，扫过的区域面积为 \( 2A \) 。若 \( s \) 可表示为 \( a + \frac{b\pi }{c} \) 的形式，其中 \( a,b,c \) 均为正整数且 \( b \) 与 \( c \) 互质，求 \( a + b + c \) 的值？

(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14

解答步骤

1. 理解题意

2. 内部滚动扫过的区域面积 \(A\)

内部滚动的圆盘中心轨迹是一个正方形，其边长为 \(s - 2\) （因为圆盘半径 1，中心到边的距离为 1，所以中心轨迹正方形比原正方形边长少 2）。但扫过的区域并不是简单的环形，而是原正方形去掉中心一个边长为 \(s - 4\) 的正方形（因为圆盘贴着内部滚动时，中心离边界 1，圆盘边缘离边界 0，所以中心轨迹内侧距离原边界 2，因此未扫到的中心区域边长是 \(s - 4\) ），并且四个角上未扫到的区域是四个 \(1 \times 1\) 正方形去掉四分之一圆（半径 1）。

更直接的方法（根据答案提示）：

• 扫过的区域 = 原正方形面积 \(s^2\) 减去未扫到的区域。
• 未扫到的区域 = 中心一个边长为 \(s - 4\) 的正方形（因为圆盘半径 1，从边界缩进 1 就能让圆盘完全覆盖不到中心区域吗？需要仔细考虑：圆盘中心轨迹是边长为 \(s - 2\) 的正方形，圆盘本身半径 1，所以圆盘能覆盖的区域是从中心轨迹向外 1 单位，因此未覆盖的区域是中心一个边长为 \((s - 2) - 2 = s - 4\) 的正方形，正确）。
• 但是四个角上，未扫到的区域并不是完整的 1×1 正方形，而是四个曲边三角形（即 1×1 正方形减去四分之一圆）。因此四个角未扫到的总面积 = \(4 \times (1 - \frac{\pi}{4}) = 4 - \pi\) 。

因此： \[ \text{未扫到的总面积} = (s - 4)^2 + (4 - \pi) \] \[ A = s^2 - \left[(s - 4)^2 + (4 - \pi)\right] \] \[ A = s^2 - (s^2 - 8s + 16 + 4 - \pi) \] \[ A = s^2 - s^2 + 8s - 20 + \pi \] \[ A = 8s - 20 + \pi \]

3. 外部滚动扫过的区域面积 \(2A\)

外部滚动的圆盘中心轨迹是边长为 \(s + 2\) 的正方形（中心到原正方形边的距离为 1，所以轨迹边长 \(s + 2\) ）。扫过的区域是四个矩形（每个长 \(s\) 、宽 2）加上四个四分之一圆（半径 2）。

四个矩形面积： \(4 \times (s \times 2) = 8s\) 四个四分之一圆（半径 2）面积： \(4 \times \frac{1}{4} \pi (2^2) = 4\pi\)

所以： \[ \text{外部滚动扫过的面积} = 8s + 4\pi \] 已知它等于 \(2A\) ： \[ 8s + 4\pi = 2(8s - 20 + \pi) \]

4. 解方程求 \(s\)

\[ 8s + 4\pi = 16s - 40 + 2\pi \] \[ 4\pi - 2\pi + 40 = 16s - 8s \] \[ 2\pi + 40 = 8s \] \[ s = 5 + \frac{\pi}{4} \]

因此 \(a = 5, b = 1, c = 4\) ，且 \(b, c\) 互质。

5. 计算 \(a + b + c\)

\[ a + b + c = 5 + 1 + 4 = 10 \]

6. 最终答案

• 有多少个正整数有序对 \((b, c)\) 使得方程 \(x^{2} + bx + c = 0\) 和 \(x^{2} + cx + b = 0\) 都没有两个不同的实数解？

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12 (E) 16

解答步骤

1. 理解题意

一个一元二次方程没有两个不同的实数解，当且仅当其判别式小于或等于零。因此，我们需要： \[ b^{2} - 4c \leq 0 \quad \text{和} \quad c^{2} - 4b \leq 0。 \]

2. 解题过程

步骤 1：列出不等式条件

步骤 2：推导 \(b\) 的取值范围

由 \(b^{2} \leq 4c\) 和 \(c^{2} \leq 4b\) ，代入 \(c^{2} \leq 4b\) 到第一个不等式： \[ b^{2} \leq 4c \quad \Rightarrow \quad c \geq \frac{b^{2}}{4}。 \] 同时， \(c^{2} \leq 4b\) 意味着 \(c \leq 2\sqrt{b}\) 。因此： \[ \frac{b^{2}}{4} \leq c \leq 2\sqrt{b}。 \] 由于 \(c\) 是正整数，且 \(\frac{b^{2}}{4} \leq 2\sqrt{b}\) ，两边乘以 4： \[ b^{2} \leq 8\sqrt{b} \quad \Rightarrow \quad b^{4} \leq 64b \quad \Rightarrow \quad b^{3} \leq 64。 \] 所以： \[ b \leq 4。 \] 因此， \(b\) 的可能取值为 \(1, 2, 3, 4\) 。

步骤 3：对每个 \(b\) 值找出满足条件的 \(c\)

• 当 \(b = 1\)：

• 当 \(b = 2\)：

• 当 \(b = 3\)：

• 当 \(b = 4\)：

步骤 4：统计所有有序对

3. 最终答案

第21题

将20个球独立且随机地投入5个箱子中。设 \( p \) 为某个箱子最终有3个球、另一个箱子有5个球、其余三个箱子各有4个球的概率。设 \( q \) 为每个箱子最终都有4个球的概率。求 \( \frac{p}{q} \) 的值。

(A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 14 (E) 16

解答步骤

1. 理解题意

题目描述将 20 个球独立且随机地投入 5 个箱子中，每个球落入每个箱子的概率均为 \(\frac{1}{5}\) 。

• 事件 \(p\) ：某个箱子有 3 个球，另一个箱子有 5 个球，其余三个箱子各有 4 个球。
• 事件 \(q\) ：每个箱子都有 4 个球。

要求计算 \(\frac{p}{q}\) 的值。

2. 解题思路

由于每个球独立且随机地落入 5 个箱子，总的分配方式数为 \(5^{20}\) ，但概率计算时分子分母都会出现 \(5^{20}\) ，因此 \(\frac{p}{q}\) 实际上等于两种分配方式数的比值。

我们使用多项式系数方法计算两种情况的分配方式数。

3. 计算 \(q\) 的分配方式数

每个箱子 4 个球，分配方式数为：

\[ N_q = \frac{20!}{4! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 4!} \]

4. 计算 \(p\) 的分配方式数

某个箱子有 3 个球，另一个箱子有 5 个球，其余三个箱子各有 4 个球。

• 选择哪个箱子有 3 个球：有 5 种选择。
• 选择哪个箱子有 5 个球：剩下 4 种选择。
• 因此箱子选择方式数为 \(5 \times 4 = 20\) 。

分配方式数为：

\[ N_p = 20 \times \frac{20!}{3! \cdot 5! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 4!} \]

5. 计算 \(\frac{p}{q}\)

由于概率 \(p = \frac{N_p}{5^{20}}\) ， \(q = \frac{N_q}{5^{20}}\) ，所以：

\[ \frac{p}{q} = \frac{N_p}{N_q} \]

代入 \(N_p\) 和 \(N_q\) ：

\[ \frac{p}{q} = \frac{20 \times \frac{20!}{3! \cdot 5! \cdot (4!)^3}}{\frac{20!}{(4!)^5}} \]

约去 \(20!\) ：

\[ \frac{p}{q} = 20 \times \frac{(4!)^5}{3! \cdot 5! \cdot (4!)^3} \]

化简：

\[ \frac{p}{q} = 20 \times \frac{(4!)^2}{3! \cdot 5!} \]

计算阶乘：

• \(4! = 24\) ， \((4!)^2 = 576\)
• \(3! = 6\) ， \(5! = 120\)

\[ \frac{p}{q} = 20 \times \frac{576}{6 \times 120} = 20 \times \frac{576}{720} \]

\[ \frac{576}{720} = \frac{4}{5} \]

\[ \frac{p}{q} = 20 \times \frac{4}{5} = 16 \]

6. 最终答案

\[ \boxed{16} \]

对应选项 (E)。

2018 AMC 10B 试题 第22题

问题 在底面半径为5、高为12的直圆锥内部放置三个半径为 \( r \) 的全等球体。每个球体与其他两个球体相切，并且与圆锥的底面和侧面相切。求 \( r \) 的值。

(A) \( \frac{3}{2} \) (B) \( \frac{90 - 40\sqrt{3}}{11} \) (C) 2 (D) \( \frac{144 - 25\sqrt{3}}{44} \) (E) \( \frac{5}{2} \)

解答步骤

1. 理解题意

2. 建立几何模型

3. 球心水平位置

4. 圆锥母线与侧面切点关系

5. 利用相似三角形求 \( BD \)

• \( \angle DAB = \angle DEC = 90^\circ \) （因为 \( AB \perp \) 底面， \( EC \perp \) 底面？这里需注意：实际上 \( AB \) 是竖直的半径， \( EC \) 是圆锥高的一部分，但 \( \triangle DAB \sim \triangle DEC \) 是因为 \( AB \parallel EC \) 且 \( D, A, E \) 共线）

6. 建立 \( r \) 的方程

7. 最终答案